Два зеркала и точка

Эта физическая задача может показаться, что пришла из королевства кривых зеркал, но это не так. Для ценителей физики и геометрии посвящается!задача про зеркала

Пусть два плоских зеркала образуют угол в 30 градусов. Внутри угла на расстоянии 200 см от его вершины расположена светящаяся точка.

Вопрос: Каково расстояние между изображениями этой точки в зеркалах?

Награда: 1 фомувик.

Оставить комментарий

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

  1. Irma

    WARNING: Поскольку, решая эту задачу, я пыталась вспомнить то, чего никогда не знала (то есть, тригонометрию) всё здесь изложенное может оказаться полным бредом.
    Приступая к решению, я исходила из двух предположений. Во-первых, в задаче не указано на каком расстоянии от каждого из зеркал находится точка, значит, это не имеет большого значения, и я могу расположить её там, где мне удобно. А мне удобно ровно посередине. Во-вторых, лучи из точки падают отвесно, значит, прямая, проведенная из светящейся точки к её отражению будет перпендикулярна поверхности зеркала.
    Итак, соединив точку с вершиной угла и двумя отражениями, получаем два равных прямоугольных треугольника, отрезок в 200 см является общей гипотенузой и биссектрисой для угла в 30°. Нам известны гипотенуза и углы (15°, 75°). Значит, можно найти катет, который является одновременно отрезком соединяющим вершину «зеркального» угла и отражение. Для этого нужно умножить гипотенузу на синус противолежащего катету угла в 75°. То есть 200 на примерно 0,96. Получаем 192 см.
    После чего соединяем отражения между собой. Получаем равнобедренный треугольник с боковыми сторонами в 192 см каждая и вершиной в 30°. Зная вершину и боковые стороны, можем найти основание, которое в нашем случае и есть расстояние между отражениями. Для этого нам нужно 2 умножить на длину стороны и на синус вершины делённый на 2. То есть 2*192* ? /2=96.
    В общем, у меня получилось, что расстояние между отражениями – 96 см.
    А у Вас ответ к задачке есть или будете искать?

  2. admin

    Не зря было упомянуто, что задача отчасти физическая, потому что изображение находится по её законам не там, где Вы её в задаче определили. Многие путают её с чисто геометрической и решают соответствующе, ответ получается другой (не 96 см, чуть больше). Но этот ответ не является правильным, ибо, повторюсь, люди, не зная правил физики, не правильно находят расположение «изображения этой точки». Чтобы быть в этом уверенным, мне пришлось позвонить знакомому физику-ядерщику и тот довольно быстро её решил. Оказывается, даже теорема существует как раз для такого случая, и выведенная в ней формула ему как раз помогла быстро найти результат. Вот такие пироги =)

  3. Irma

    Н-да… Путешествие в жуткий мир синусов и гипотенуз результатов не принесло. Вот не пойду туда больше и всё! :-D
    Если бы я не выбросила две последние цифры (четыре цифры после запятой =-O окончательно привели меня в состояние ступора) в значении синуса угла в 75 градусов, у меня бы тоже получился результат побольше.
    Что же, поищу, пожалуй, упомянутую Вами формулу. Интересно всё-таки.
    Надеюсь, мои поиски не уведут меня за приделы школьного курса по физике!
    Кстати, если я, ослабев после блужданий по тригонометрическим дебрям, в физических всё-таки загнусь, прошу считать меня гуманитарием. :(

  4. admin

    Не буду никого мучать, специалист сказал, что решается она так:

  5. LoadRunner

    Хоть ответ на задачу дан, но я его читать не стал, решил ответить просто из интереса.

    Прикладываю картинку к своим рассуждениям, сверяйте с ней.
    Нарисуем треугольник АВС, где один из углов 30 градусов. А конкретно — угол В.
    АВ — это первое зеркало, ВС — второе.
    Отметим внутри треугольника точку D — это та самая светящаяся точка, BD = 200 сантиметров.
    От точки D к каждому зеркалу опускаем перпендикуляр и продолжаем его «внутрь» зеркала, поскольку отражение находится в «глубине» — на том же расстоянии, что точка от зеркальной поверхности.
    То есть, DК = KM, DL = LN.
    По условиям задачи нам надо найти длину MN (расстояние между двумя изображениями светящейся точки).
    Ещё сразу соединим точки M и N с точкой В.

    Итак, что же мы видим?
    1. В треугольнике BDM отрезок BK является биссектрисой. По сути, мы этот треугольник получили простым отзеркаливанием треугольника BDK. Соответственно, треугольник BDM у нас ещё и равнобедренный.
    BM = BD = 200 сантиметров.
    2. Аналогично и для треугольника BDN: BN = BD = 200 сантиметров.
    3. Угол АВС у нас 30 градусов, угол DBK = x, угол DBL = y. Ну а x+y = 30.
    Угол DBM = х+х
    Угол DBN = y+y
    Угол MBN = сумме углов DBM и DBN = x+x + y+y. Или (x+y) + (x+y). x+y мы знаем — это 30. Получается, что угол MBN = 30+30 = 60 градусам.
    При этом, он как минимум равнобедренный (по второму пункту). А что мы знаем про равнобедренные треугольники с углом в 60 градусов между рёбрами? А ровно то, что они являются равносторонними и все углы равны 60 градусам. Не помню точную формулировку этой школьной теоремы, ровно как и доказательство, но как сам факт — помню.
    Итак, получается, что MN = BM = BN = 200 сантиметров, что и требовалось найти.

Подпишись на обновления